AI löste på en kväll det matematiker misslyckats med i 87 år: Jacobiförmodan har fallit

Motbeviset är kort nog att få plats i en tweet, det tog några timmar en söndagskväll att hitta, och det välter en av matematikens mest envisa öppna förmodanden. Inlägget som satte igång det hela var ännu kortare: ”hello there the jacobian conjecture is false thanx”.

Så meddelade Levent Alpöge på X i mitten av juli att han tillsammans med Anthropics språkmodell Claude Fable 5 hade hittat ett motexempel till den så kallade Jacobiförmodan. Ett motexempel räcker: har man ett enda fall där förmodan inte stämmer, så är hela förmodan falsk.

Vad Jacobiförmodan säger

Förmodan formulerades av den tyske matematikern Ott-Heinrich Keller 1939. Kortversionen: om en viss typ av polynomfunktion uppfyller ett tekniskt villkor (att den så kallade Jacobideterminanten är en konstant som inte är noll), så ska funktionen alltid gå att vända, och inversen ska själv vara ett polynom.

Det låter kanske abstrakt, men liknelsen är enkel. Tänk dig en maskin som tar in en punkt i rummet och spottar ut en ny punkt. Villkoret säger att maskinen inte får krympa eller vrida ihop rummet på ett konstigt sätt. Slutsatsen matematikerna gissade var: då måste det gå att köra maskinen baklänges, och man ska landa på precis den punkt man startade från.

Frågan har stått öppen så länge att Stephen Smale tog med den på sin berömda lista från 1998 över matematiska problem för 2000-talet. Generationer av matematiker har försökt bevisa den utan att lyckas.

Motbeviset är 216 tecken långt

Det Alpöge och Fable 5 lade fram är en avbildning i tredimensionellt rum, uppbyggd av tre polynom. Determinanten är precis −2, alltså den konstanta som förmodan kräver, men avbildningen skickar ändå flera olika punkter till samma slutpunkt. Då går den inte att vända, och förmodan är motbevisad för dimension tre och uppåt.

Hela motexemplet är 216 tecken långt och algebran är så enkel att vilken matematiker som helst kan verifiera den för hand. Det är också vad som skedde snabbt efter Alpöges inlägg. Bloggaren och matematikern David Speyer publicerade en genomräkning dagen efter, där han skrev ut de tre polynomen och visade varför avbildningen är tre-till-ett i stället för ett-till-ett.

Det tvådimensionella fallet är fortfarande öppet. Där vet ingen än.

”Första gången en AI löst något jag hört talas om”

Det som gör historien intressant är inte att en dator gjorde en beräkning, det har datorer gjort länge. Det intressanta är att modellen genererade själva förslaget, det motexempel som ingen människa hittat på 87 år.

Matematikern Andrew Blumberg satte fingret på skillnaden: ”Det finns en mängd polynom, och det är svårt för människor att gå igenom dem alla, men det är inte svårt för maskiner”, sa han till TheNextWeb. Uppgiften är av rätt sort för en AI: sökrymden är enorm, verifieringen är billig, och det räcker att träffa rätt en enda gång.

Fields-medaljören Timothy Gowers kommenterade att det var ”första gången en AI hade löst ett problem utanför hans eget område som var stort nog för att han skulle ha hört talas om det”, enligt samma artikel.

Människan formulerade problemet, maskinen letade

Alpöge själv har varit noga med att inte överdriva. Modellen ersatte inte matematikern, den snävade ner sökningen. Det var en människa som visste vilken förmodan som var värd att attackera, som kände till formen ett motexempel skulle behöva ha, och som kunde läsa av vad modellen faktiskt levererade.

Men Claude Fable 5 är också Anthropics senaste frontier-modell, beskriven som den offentliga versionen av en internt hållen modell som tidigare bedömts som för kapabel att släppa. Att en sådan modell nu levererat ett verifierbart genombrott inom ren matematik, på ett problem som Smale kallade en av framtidens stora utmaningar, gör att debatten om vad AI klarar av i grundforskning ser annorlunda ut den här veckan än den gjorde förra.

Att sedan hela historien fick sin första knuff av ett litet inlägg på X, med gemener och utan skiljetecken, gör bara berättelsen bättre.