Jesper Bengtson
Anthropics nya AI-modell Claude Fable 5 hittade motexemplet som forskare letat efter sedan 1939.
Söndagen den 19 juli satt matematikern Levent Alpöge framför datorn medan Spanien och Argentina spelade VM-final. Vid dagens slut hade han och Anthropics AI-modell Claude Fable 5 fällt en matematisk gåta som stått olöst i 87 år: den jakobianska förmodan.
Genombrottet tillkännagavs på X måndagen den 20 juli av Alpöge själv, som är knuten till både Harvard och Anthropic. På sitt inlägg skrev han att den jakobianska förmodan är falsk, och tackade två personer: en kollega som ställt frågan och sin ”kompis Fable”, som enligt honom jobbade under VM-finalen.
Claude Fable 5 beskrivs som Anthropics nyaste frontier-modell, alltså den mest kapabla version företaget släppt.
Vad är den jakobianska förmodan?
Förmodan formulerades 1939 av den tyske matematikern Ott-Heinrich Keller och handlar om polynomiska funktioner i flera variabler. Kortfattat sade den att om en funktion är inverterbar lokalt i varje punkt, så måste den vara inverterbar globalt.
Matematikern och bloggaren John D. Cook förklarar tankegången som att en funktion kan vara vändbar i små områden runt varje punkt utan att vara det över hela sitt definitionsområde. Det är precis den skillnaden Alpöges motexempel visar.
Motexemplet är en trevariabelfunktion vars jakobiandeterminant är identiskt lika med minus två. Trots det skickar den flera olika punkter till samma resultat. Cook lyfter fram att punkterna (0, 0, −1/4) och (1, −3/2, 13/2) båda hamnar i (−1/4, 0, 0), vilket bevisar att någon global invers inte kan finnas.
Ett svar på en handfull rader
Det som fått matematiker att reagera är hur kompakt lösningen är. Motexemplet består av tre polynom med gradtal 7, 6 respektive 4 och små heltalskoefficienter, enligt en genomgång hos BigGo Finance. Formatet gör att vem som helst kan mata in siffrorna i ett datorprogram och kontrollera att det stämmer.
Fields-medaljören Timothy Gowers beskrev resultatet som häpnadsväckande och sade att det var första gången han sett en AI lösa ett problem utanför sitt eget forskningsfält som var stort nog för att han skulle ha hört talas om det.
Alla är dock inte lika imponerade. Matematikern Andrew Blumberg sade i en kommentar återgiven av TNW att resultatet ”inte fick honom att uppdatera sina antaganden”. Han menar att det handlar om en beräkningsintensiv sökuppgift, inte om att AI:n själv skulle ha byggt en matematisk teori.
Bevis utan förklaring
Ett återkommande tema i reaktionerna är just skillnaden mellan att hitta ett svar och att förstå varför svaret fungerar. Enligt BigGo Finance har PhD-studenten Paul Lezeau vid Imperial College London formaliserat motexemplet i bevisverktyget Lean och skickat in det till Google DeepMinds repositorium ”Formal Conjectures”, ett steg som gör att resultatet kan granskas maskinellt.
Det bör också nämnas att den jakobianska förmodan bara är avfärdad i tre dimensioner. Fallet med två variabler är fortfarande ett öppet matematiskt problem, och Alpöges resultat är ännu inte granskat i en vetenskaplig tidskrift utan har publicerats direkt på sociala medier.
För den som följer AI-utvecklingen är genombrottet ändå en symbolisk vändpunkt. En modell från Anthropic klarade på några timmar av en söndag det som mänskligheten misslyckats med sedan mellankrigstiden.
